Get Aristote. Constitution d’Athènes (second ed.) PDF

By Georges Mathieu, Bernard Haussoullier

ISBN-10: 225100033X

ISBN-13: 9782251000336

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L’importance de la fonction g´en´eratrice r´eside dans le fait que sa connaissance d´etermine compl`etement la transformation canonique. Ceci n’est pas ´evident et r´esulte de la contrainte canonique. A 1 degr´e de libert´e, il y a 4 classes de fonctions g´en´eratrices int´eressantes mˆelant les deux jeux de coordonn´ees: G1 (q, Q, t), G2 (q, P, t), G3 (p, Q, t) et G4 (p, P, t). Le choix d´epend des circonstances. A n degr´es de libert´e, le nombre de fonctions g´en´eratrices mˆelant les anciennes et les nouvelles coordonn´ees est ´evidemment beaucoup plus ´el´ev´e, mais la m´ethode qui suit reste toujours la mˆeme.

Pn (0), t) pk (t) = pk (Q, P, t) = pk (q1 (0), . . , qn (0), p1 (0), . . , pn (0), t) D’un point de vue g´eom´etrique, cela signifie que nous avons fait un changement de coordonn´ees qui, `a un point de l’espace des phases caract´eris´e par le param`etre t = 0, associe un nouveau point de param`etre t. Le probl`eme consiste `a trouver ce fameux changement de variables. . Dans l’exemple ci-dessus, le hamiltonien peut d´ependre explicitement du temps. Consid´erons maintenant le cas plus simple d’un syst`eme conservatif H = H(q, p).

7. LES CROCHETS DE POISSON 43 quelle est la fonction g´en´eratrice G associ´ee? Nous avons vu que la transformation identit´e est engendr´ee par G2 (q, P ) = i qi Pi . 26) i o` u est un petit param`etre et F une fonction encore inconnue. Or, G doit ˆetre une transformation canonique, ˜ = G − P Q) elle v´erifie donc (en posant G ˜ pdq − Hdt = P dQ − H dt + dG quelles que soient les variations des Pi et des qi . 27) Ces expressions doivent ˆetre toutes deux du premier ordre en , ce qui ´etait bien le cas pour δpi , alors que δqi mettait en jeu une d´erivation par rapport `a Pi .

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Aristote. Constitution d’Athènes (second ed.) by Georges Mathieu, Bernard Haussoullier


by Thomas
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