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By Christoph Schweigert

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Dann sind f¨ ur eine komplexe Zahl z ∈ C ¨aquivalent: (i) z ist aus M konstruierbar, z ∈ AM . (ii) z ist algebraisch u ulle der K¨orpererweiterung ¨ber K. Ist E die normale H¨ m K(z)/K, so ist [E : K] = 2 f¨ ur ein m ≥ 0. Beweis. 6 gibt es einen Erweiterungsk¨orper Km von K, der z enth¨alt und aus K durch sukzessive Adjunktion von Quadratwurzeln hervorgeht. Das heißt, dass Km sich in der Form Km = K(ω1 , ω2 , . . , ωm ) schreiben l¨asst, wobei ωi2 ∈ K(ω1 , . . , ωi−1 ) =: Ki−1 liegt, aber ωi ∈ K(ωi , .

X −1 Allgemeiner gilt f¨ ur Primzahlpotenzen m Xp − 1 m−1 m−1 m−1 = 1 + Xp + X 2p + . . + X (p−1)p , Fpm (X) = p X −1 m−1 m−1 denn Fpm (X) teilt 1 + X p + · · · + X (p−1)p : jede Einheitswurzel der Ordnung pm ist Nullstelle des Z¨ahlers, aber nicht des Nenners. Außerdem stimmen die Grade der Polynome u ¨berein: grad Fpm = ϕ(pm ) = pm−1 (p − 1) . 1 Kreisteilungsko ats¨rper, quadratisches Reziprozit¨ gesetz n-Teilung des Kreises Wir wollen noch einmal auf das Problem der Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal zur¨ uckkommen.

Sei σ : E= L→E L∈L 54 definiert f¨ ur x ∈ L0 durch σ(x) := σL0 (x). Dies ist wohldefiniert, denn seien L1 , L2 ∈ I und L3 = L1 ∩ L2 , so gilt (σL1 )|L3 = (σL2 )|L3 . Betrachte das Kompositum L = L1 L2 , hier gilt (σL )|Li = fLi /L (σL ) = σLi i = 1, 2 . 5. Eine topologische Gruppe G ist eine Gruppe, die mit der Struktur eines topologischen Raumes versehen ist, so dass die Abbildung G×G → G (x, y) → xy −1 stetig ist. 6. Ist (Gi )i∈I eine Familie topologischer Gruppen, so ist auch ihr Produkt Gi i∈I in nat¨ urlicher Weise eine topologische Gruppe: die Produkttopologie ist die gr¨obste Topologie, f¨ ur die alle Projektionen Gj Gj j stetig sind.

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Algebra II [Lecture notes] by Christoph Schweigert

by Brian

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