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By Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

ISBN-10: 3540035613

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Man kann fUr endliche Gruppen aus (2) den Index j berechnen: . N J=r;. Folge. Die Ordnung einer U ntergruppe einer endlicken Gruppe i8t ein Teiler der Ordnung der Gesamtgruppe. Nimmt man fUr die Untergruppe speziell die von einem Element c erzeugte zyklische Gruppe, so folgt: Die Ordnung eines Element8 einer endlicken Gruppe i8t ein Teiler der Gruppenordnung. Eine unmittelbare Folge dieses Satzes ist: In einer Gruppe mit n Elementen gilt fiir jede8 a die Beziekung an = e. Es kann vorkommen, daB aIle linksseitigen Nebenklassen ag zugleich rechtsseitige sind.

Zweitens ist xii = axa- 1 . aya-1 = a(xy)a- 1 = x y; also ist die Zuordnung isomorph. Man nennt axa-1 das aus x mit Hille von a translormierte Element und nennt die Elemente x, axa-1 konjugierte Gruppenelemente. Die von den Elementen a erzeugten Automorphismen x ~ axa-1 hellien innere Automorphismen der Gruppe. Alle iibrigen Automorphismen (falls noch andere existieren) heiBen iiufJere Automorphismen. Bei einem inneren Automorphismus x ~ axa- 1 geht eine Untergruppe 9 in eine Untergruppe aga- 1 iiber, die man eine zu 9 konjugierte Untergruppe nennt.

Bn } = abl + ab 2 + ... + ab n , ebenso aus IIIb: (al + a2 + ... + an}b = alb + a2b + ... + anb. Beide zusammen ergeben die ubliche Regel fiir die Multiplikation von Summen: (al + ... + an) (bl + ... + bm) = al b1 + ... + al bm + ................. + an b1 + ... + an bm n = m 2: k=l 2: a,bk' i~l 36 Ringe und Korper Die Distributivgesetze gelten auch fiir die Subtraktion; z. B. ist a(b-c}=ab-ac, wie man aus a(b - c} + ac = a(b - c + c} = ab ersieht. Insbesondere ist a'O = a(a - a} = a'a - a'a = 0, oder: Ein Produkt ist sicker dann Null, wenn ein Faktor es ist.

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Algebra I by Dr. B. L. van der Waerden (auth.)

by Mark

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